Todos hemos oído mucho sobre las pruebas PISA, que dan lugar a un informe elaborado por la OCDE que trata de evaluar internacionalmente el rendimiento de estudiantes de varios países. A continuación podéis ver los resultados obtenidos en matemáticas en las pruebas realizadas en 2012.
Resultados PISA 2012 - Matemáticas
Ahora bien, ¿alguien os habéis detenido a ver en qué consisten esas pruebas? ¿Qué problemas deben resolver los estudiantes de 15 años? El Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, a través de EDUCALAB, pone a nuestra disposición las pruebas realizadas y los criterios de corrección de las mismas. Aquí incluyo unos cuantos por si deseáis hacer vosotros las pruebas y saber cuál es vuestro nivel de matemáticas conforme a alguna prueba PISA.
Incluyo a continuación un par de ejemplos de cada uno de los campos que se evalúan:
En el siguiente ENLACE podéis encontrar la totalidad de las pruebas PISA liberadas hasta el momento en formato PDF, que puede resultar muy útil para utilizarlo como recurso didáctico con nuestros alumnos de ESO.
Este es el momento cumbre en que presentamos la solución final. Es muy interesante hacerlo de forma muy visual, como el final de una película.
El hecho de que los estudiantes puedan ver la respuesta a su trabajo de modelización es muy interesante ya que les permite validar el modelo que han adoptado para resolver el problema y discutir posibles fuentes de error y tenerlas en cuenta para nuevos modelos más aproximados.
En el primer acto, pedimos que los estudiantes hicieran hipótesis de valores por exceso y por defecto a la solución buscada. Ahora es el momento de ver quién se ha acercado más y también de intentar dar respuesta al resto de preguntas que se plantearon inicialmente.
También es este un buen momento de formalizar y consolidar las formulaciones matemáticas que se han realizado para resolver el problema. Por ejemplo: volúmenes de prismas diferentes, de prismas no rectos, de pirámides...
Secuela:
Puesto que habrá ritmos distintos de estudiantes y algunos necesitarán algo más de apoyo por parte del profesor para entender los conceptos que se han explicado, es buena idea incluir una secuela al problema. Es más que una continuación del mismo con el fin de que los alumnos que han terminado antes puedan practicar sobre lo aprendido y el profesor tenga tiempo de ayudar a los que lo necesiten.
Y con esto queda vista la metodología de Dan Meyer para la enseñanza de las Matemáticas. Espero que os haya gustado. A mi, al menos, me parece interesante y digno de aplicar. Creo que como alumno hubiera disfrutado mucho más de las Matemáticas si hubiera podido aprenderlas de una forma más "visual", "manipulativa", sin que me dieran los problemas totalmente encasillados y con la totalidad de los datos que necesitaba para aplicar la fórmula de turno.
En el segundo acto se trata de que los alumnos traten de dar respuesta a las preguntas planteadas. En este caso, ¿Cuánto tardará en llenarse el tanque de agua?
A diferencia de los problemas tradicionales, aquí son ellos quienes deben decidir qué variables van a ser importantes a la hora de resolver el problema, qué datos son los que necesitan conocer y cuáles no. Si conseguimos que se hagan la pregunta "¿Qué es importante aquí y cómo lo conseguiría yo?" es cuando realmente estaremos logrando que empiecen a mejorar su competencia matemática.
En este acto, se les brinda la oportunidad de que soliciten información adicional al profesor y aquí es cuando se les requiere precisión en el lenguaje matemático, que expresen correctamente las unidades o que pidan los datos en unas unidades concretas... Es la excusa perfecta para profundizar en el léxico específico del tema que se esté tratando.
Estas son algunas de las informaciones que necesitarán:
Además, también necesitarán saber cómo se calcula el volumen del depósito y cómo relacionar el tiempo que tarda en llenarse la jarra pequeña con el tiempo que tardará el depósito grande.
No vamos a pedir que resuelvan el problema por sí mismos, ya que no saben calcular volúmenes pero sí que podemos lograr que interioricen mucho más la utilidad de las herramientas que necesitarán para resolver el problema.
Es en este segundo acto cuando daremos a los estudiantes las herramientas matemáticas necesarias para resolver el problema. Además, lo más interesante es hacerlo en modo colectivo, es decir, que aprendan en grupos de modo que puedan comentar, hacer hipótesis, discutir propuestas con el resto del grupo de forma participativa...
Sí, hoy la cosa va en inglés, pero voy a explicaros dónde quiero llegar en castellano, para que todos nos entendamos. Quiero hablaros, o más bien reflexionar, de la forma que tenemos en muchos casos de enseñar, en concreto, las matemáticas.
¿Por qué muchas veces las lecciones comienzan con algo como esto?
Si estamos pidiendo a nuestros estudiantes competencias, que sepan comunicarse, que entiendan, que sepan preguntarse cosas, que sepan hacer... ¿Por qué no empezamos por el final? ¿Por qué no empezamos por hacerles ver la necesidad de adquirir ciertos aprendizajes para poder resolver problemas relacionados con algo real, con algo que puedan ver?
Desde hace algunos años, hay cada vez más profesores que están cambiando de metodología de dar sus clases y hoy quiero explicaros una de ellas. Su creador es Dan Meyer, y en su blog podéis encontrar infinidad de materiales relacionados con la docencia de las matemáticas. La metodología que propone Dan se llama "Three-Act Tasks" y consiste en dividir las lecciones tres actos:
Primer acto:
Se trata de crear un conflicto en los estudiantes, en el sentido de plantearles la tarea de forma clara, visual, visceral, utilizando tan pocas palabras como sea posible.
En este primer acto pedimos a los estudiantes que planteen preguntas acerca de lo que están viendo y que las compartan con sus compañeros. Al mismo tiempo pedimos que traten de aproximar soluciones a dichas preguntas, tanto por exceso como por defecto. Al ver el vídeo me viene a la cabeza: ¿cuánta agua cabe en el depósito? ¿cuánto tardará en llenarse?
Tras una breve reflexión entre los estudiantes, les pedimos que pongan en común las preguntas que han realizado, que decidan cuáles son las preguntas más interesantes, que aventuren posibles respuestas, que adelanten respuestas que son incorrectas de entrada...
Hay dos objetivos en este primer acto:
Que los estudiantes vean qué preguntas son las más interesantes a resolver.
Conocer nosotros, como docentes, un poco más a nuestros alumnos a la vista de las preguntas que puedan venirles a la cabeza al ver un vídeo como este. Las cuales debemos apuntar y responder al final, incluso aunque sean cosas como ¿y para qué está llenando ese depósito de agua?
En cualquier caso, siempre podremos, en caso de que las preguntas de nuestros alumnos sean disparatadas, acabar con un: "Está bien, esperemos que podamos dar respuesta a todas estas preguntas pero necesito que me ayudéis con estas otras preguntas que me surgen a mi..."
¿Hay algún rectángulo que sea más bonito que otro, que resulte más agradable a la vista por alguna causa?
En principio, podríamos pensar que para gustos, los colores; pero este es un tema del que se ha investigado mucho a través de la historia y parece ser que la respuesta es que sí. Sí, hay una relación entre los lados del rectángulo que, en principio, parece que nos resulta más atractiva y se ha utilizado ampliamente en las artes desde hace muchos años.
Se trata de la proporción áurea, que es la que mantienen los lados del rectángulo rosa y del rectángulo de lados (a+b)/a. Sin adentrarnos demasiado en cómo se calcula, todo viene de establecer que la relación entre los lados debe ser (a+b)/a=a/b, lo que nos lleva a que a/b=φ=1.618..., que es el denominado número de oro o áureo.
No sé si os recordará ese tipo de rectángulo a formas con las que tratamos todos los días o que hemos visto en construcciones alguna vez. Algunos ejemplos son:
Aquí os incluyo un documental por si tenéis más curiosidad y queréis explorar algo más sobre el número áureo.
Si quisiérais averiguar más sobre el número áureo, os invito a que me lo hagáis saber en los comentarios y estaré encantado de proporcionaros más material. Que paséis buen puente de la Constitución y hasta pronto.
Me han llegado comentarios de que no quedó muy clara la última entrada referente al número π, que no entedíais muy bien el asunto de los radianes. Así que voy a intentar aclarar qué narices son eso de los radianes.
Un radián, es una medida de ángulos y se define como el ángulo que da lugar a un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio. Así escrito parece un poco complicado de entender pero si nos fijamos en la siguiente imagen, veremos que un ángulo de un radián (en azul) es aquel que determina un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia (en rojo).
Con esta forma de medir los ángulos, tenemos la ventaja de la longitud l de un arco de circunferencia de radio r determinado por un ángulo θ se podrá expresar como l=θ·r, con θ en radianes.
Así definido el radián, tendremos que una circunferencia completa corresponde con un ángulo de 2π radianes ya que la longitud del arco de circunferencia correspondiente a una vuelta completa es, precisamente, la longitud de la circunferencia cuyo valor es 2π·radio. Por tanto, θ=l/r=2πr/r=2π.
Aquí se puede ver de forma gráfica:
¿Sabríais decir cúantos grados sexagesimales son un radián? Espero vuestras respuestas en los comentarios. ¡Hasta la semana que viene!
En esta entrada me gustaría reflexionar sobre la importancia que históricamente se ha dado al número pi en las matemáticas. Seguro que todos sabéis cuánto vale dicha constante (3.1415...) pero, ¿sabéis lo que realmente significa, de dónde sale?
El número pi es la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, si dividimos la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro, obtendremos siempre el mismo resultado y ese es π. Gráficamente podríamos visualizarlo como la distancia horizontal que recorre un punto de una circunferencia de diámetro unidad al dar una vuelta completa rodando.
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Y os preguntaréis: ¿qué hay de malo en todo esto? ¿por qué está mal?
Os invito a ver el siguiente vídeo:
Resumiendo un poco, por si os habéis perdido con el inglés a pesar de los subtítulos en español:
¿Por qué hemos definido la constante π a partir del diámetro de la circunferencia cuando, intuitivamente, el valor más representativo de una circunferencia es el radio (circunferencia= puntos situados a la misma distancia de otro punto que llamamos centro)?
¿Por qué el ángulo correspondiente a una circunferencia hemos convenido que sean 2π radianes y no τ=2π radianes?
Si hubiésemos definido la constante que relaciona la longitud de la circunferencia con el radio en lugar de con el diámetro, tendríamos que dicha longitud valdría L=τ·radio, con τ=2π. Hasta aquí hay poca ventaja ya que tendríamos que recordar la constante τ=6.2831... en lugar de π=3.1415...
Ahora bien, cuando estudiamos trigonometría, los ángulos los medimos en radianes y una circunferencia completa corresponde con 2π radianes. Si nos preguntan cuántos grados son π/2, casi todos tenemos que pensar un rato para responder que son 90º, es decir un cuarto de circunferencia. ¿No sería mucho más sencillo si un cuarto de circunferencia fueran τ/4 en lugar de π/2? Como ejemplo, un par de imágenes.
En fin, que queda abierta la polémica de los defensores y los detractores de τ y de π. ¿Tú con cuál te quedas?
Ya, ya, ¿a qué viene esta fórmula que da título al post? Paciencia, que seguro que cuando acabéis de leer la entrada os quedará más claro.
Hoy quería hablaros de una plataforma, servicio o, mejor aún, una organización sin ánimo de lucro que se llama TED. En inglés, estas siglas significan Technology, Entertainment, Design; pero lo más importante es el objetivo de esta organización que el de difundir las "Ideas que vale la pena difundir". Así, gratuitamente en Youtube, podemos encontrar miles de charlas exponiendo ideas de lo más variopinto.
Además de las charlas organizadas oficialmente por TED, hay otras llamadas TEDx, que son eventos organizados independientemente de TED pero con un patrón parecido en cuanto a formatos y modo de exposición. Una de estas charlas, que considero digna de ver, es la siguiente, correspondiente a un evento TEDx de Andorra en que se habla de la motivación en la vida.
Y ahora es cuando se entiende la fórmula del inicio del post: persona=(conocimientos+experiencia)*actitud. La actitud multiplica a lo demás y, además, la actitud es una opción personal nuestra, parte de nuestra libertad para tomarnos y enfocar las cosas como queramos. Así que, tengamos una actitud consciente y positiva, que seguro que viviremos más felices el día a día.
Os invito a que busquéis vídeos en TED de los temas que os resulten de interés. Muchos están en inglés (pueden ser útiles para practicar un poco de listening). Seguro que encontráis ideas novedosas de cualquier temática expuestas por gente realmente apasionada por lo que hace (los ponentes no cobran en TED).
¿Es este un blog de matemáticas? Porque con ese título nos recuerda a las lecciones de historia en que Gengis Kan (Ghengis Khan en inglés) forma el imperio mongol en torno al siglo XIII y logra conquistar amplios territorios en el continente asiático.
No, no va de eso la entrada, pero no estaría de más repasar algo de historia a la vez que aprendemos matemáticas y TICs, ¿no?
Khan Academy (en español Academia Khan) es una organización educativa sin ánimo de lucro y un sitio web creado en 2008 por el educador estadounidense Salman Khan, egresado del Instituto Tecnológico de Massachusetts y de la Universidad de Harvard. A través de su página ofrece lecciones de matemáticas, física, biología, economía y más.
Me parece un recurso muy interesante para todos aquellos que estéis relacionados con la docencia de las matemáticas o tengáis interés por repasar algún concepto que tengáis algo oxidado. Si tenemos 12 libros, 36 piruletas y 30 juguetes: ¿Entre qué número máximo de niños podremos repartirlos de modo que todos ellos lleven el mismo número de cada uno de los regalos? ¿Alguien se acuerda de cómo se calculaba el máximo común divisor? Os dejo un vídeo de motivación y os invito a que incluyáis vuestra respuesta en los comentarios. ¡Ánimo!
Una gran funcionalidad de esta página es el hecho de poder entrar con distintos tipos de perfil: alumno, padre y profesor.
Desde el perfil de profesor podemos crear nuestra clase, asignar a los alumnos e incluso dirigir el aprendizaje de cada uno de ellos mediante tareas que podemos seleccionar como profesores y asignar individualmente o al grupo entero. También nos permite obtener reportes tanto a nivel individual como a nivel de la clase que hayamos definido en cuanto a tiempo empleado en las tareas, aprovechamiento de las mismas, fechas en que se han realizado, etc., con lo que se puede personalizar la experiencia de aprendizaje de nuestros alumnos y adaptarla a sus conocimientos previos ya que podemos saber dónde falla cada uno y asignarle tareas de niveles anteriores para que puedan recuperar conocimientos no adquiridos.
Los padres, desde su perfil correspondiente, también pueden verificar el grado de avance y la dedicación de sus hijos al aprendizaje.
Los alumnos pueden acceder a todos los contenidos que consideren oportunos, además de las propuestas que le realiza su profesor (que pueden ir con fecha límite de realización) y se les recompensa con medallas conforme avanzan en su aprendizaje y van superando los distintos retos que se les plantea. Además, tienen acceso a la totalidad de los contenidos tanto en español como en inglés, con lo que les puede servir para practicar en lengua extranjera.
Por otra parte, puede ser un recurso muy útil para aplicar The Flipped Classroom en nuestras aulas, que consiste resumiendo mucho (ya que es una metodología que merecería un post aparte) en que "se descubre en casa, se practica y consolida en clase", es decir, que la carga teórica del aprendizaje se realiza de forma autónoma en casa por parte del alumno y las clases se reservan para la práctica y la resolución de dudas con el profesor actuando de orientador del aprendizaje.
¡Ah!, no os olvidéis de responder en los comentarios a la pregunta de la asignación de regalos.
Como parte de la formación en las TICs y, en particular, en su aplicación a la docencia, tenemos que realizar un PechaKucha. Para, para David, ¿un pecha qué?, eso nos suena al personaje de Mario Bros, ya sabes, a la princesa Peach que secuestran siempre al empezar el juego...
Paciencia, que no se trata de nada de eso, que simplemente es un formato de presentación de ideas, contenidos o cualquier tema que se nos ocurra en que hay dos limitaciones:
La presentación estará formada por 20 diapositivas.
El tiempo de visualización de cada diapositiva será de 20 segundos.
Y ahora me imagino que os preguntaréis: ¿Y por qué se hace así? ¿Qué ventaja tiene esto?
La idea es crear presentaciones ágiles y dinámicas, que no se extiendan durante mucho tiempo y que nos obliguen a ser concisos y directos en la exposición de nuestras ideas.
Ahora bien, tras haber visualizado unos cuantos Pechakuchas, me he encontrado de todo y, dado que vale más una imagen que mil palabras, incluyo dos ejemplos a modo ilustrativo de lo que pretende este formato.
¿No pensáis que en el primer caso falta (o mejor, sobra) algo? ¿Os ha dado tiempo a leer lo que aparece en cada una de las diapositivas? ¿Os queda claro los distintos modos de resolución de sistemas de ecuaciones? Salvo que seáis unos auténticos superdotados, me imagino que no. Entonces, ¿qué hacemos? Si es tan maravilloso este formato, ¿por qué aquí no ha funcionado para explicar la resolución de ecuaciones? Lo primero es tener en cuenta las limitaciones del formato en cuanto a tiempo de visionado de cada diapositiva. Quizá sea demasiado ambicioso tratar de explicar a unos chavales todas las formas de resolver un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas a través de diapositivas de 20 segundos. ¿Y si nos conformáramos con explicar un solo método de resolución? ¿Y si reserváramos el PechaKucha para simplemente ilustrar la utilidad de resolver sistemas de ecuaciones y para crear el gusanillo de cómo narices se resolverán matemáticamente? En cualquier caso, considero que hay unas reglas no escritas y que deberíamos seguir unos cuantos consejos básicos a la hora de hacer nuestro PechaKucha. Aquí hay unos cuantos para empezar a trabajar.
Por si os da pereza abrir los enlaces, cosa que está muy mal ya que los pongo con gran ilusión y entrega, os resumo un poco lo que considero más importante:
Contemos una historia a lo largo de toda la presentación, intentemos que haya un hilo conductor en el discurso.
Las diapositivas deben servir de apoyo a lo que se cuenta, no deben incluir la totalidad de los contenidos. Deben aportar un valor añadido a lo que se dice.
Poco texto ya que no da tiempo a leer mucho en 20 segundos.
Lo importante realmente es lo que decimos, mucho más que las imágenes que mostramos.
Transmitir pasión por lo que se cuenta.
Una vez tenemos claro en qué consiste un PechaKucha, voy a exponer algunas posibilidades que tenemos para la elaboración de uno mediante software cuyo uso no nos suponga una inversión económica. Para empezar, necesitaremos un programa para crear la presentación. Algunas opciones son:
OpenOffice 4 - Presentaciones. Programa muy parecido a las versiones anteriores de PowerPoint, y de manejo muy sencillo para los que pudierais estar acostumbrados al empleo de este.
Prezi. Programa de presentaciones mucho más visual que el anterior, con transiciones de movimiento entre diapositivas y que permite que haya una relación entre las mismas ya que están en un lienzo común y mediante distintos tamaños o posiciones en dicho espacio pueden ayudarnos a establecer un argumento visual a nuestra presentación. La licencia gratuita obliga a que nuestras presentaciones sean públicas y queden indexadas de modo que cualquier usuario puede visualizarlas y utilizarlas. ¡Trabajo que nos ahorran para compartir! ¿No os parece justo que ya que comparten el software con nosotros nos obliguen a compartir lo que hacemos con él? A mí me parece maravilloso.
Una vez realizada la presentación, ya podríamos exponerla ante una audiencia física como en el segundo de los vídeos de ejemplo de PechaKucha, pero ¿qué pasa si queremos grabar el audio y difundirla a través de una plataforma del estilo de Youtube? Aquí es cuando necesitaremos un modo de capturar la pantalla de nuestro PC y poder incluir el audio. A mí, una opción que me parece muy sencilla y útil es el uso de:
Camstudio. Programa de código libre y muy sencillo de utilizar que nos permite grabar en formato vídeo la pantalla completa o una ventana a nuestra elección y que, además, registra el audio siempre que, claro está, dispongamos de micrófono conectado mientras realizamos la presentación.
Ahora que ya tenemos creado el vídeo, podremos subirlo a Youtube (de este no os pongo enlace, que seguro que lo conocéis, jejeje) e integrarlo en nuestro blog o página web.
En fin, que mucho ánimo a todos para que realicéis vuestros PechaKuchas. Espero sinceramente que lo expuesto en esta entrada os haya servido para haceros una mejor idea de lo que es un PechaKucha y que os motive para que intentéis aplicarlo en alguna presentación que tengáis que hacer, o que lo utilicéis, en caso de ser docentes, como posible trabajo para vuestros alumnos. Considero que es una herramienta muy útil para trabajar varias competencias al mismo tiempo ya que nos va a exigir creatividad, manejo de las TICs, concisión y precisión en el lenguaje..., junto con una profundización y reflexión importante sobre el tema a exponer por parte del ponente. Por otra parte, dada su duración limitada, resulta apropiado para exposiciones en clase ya que en 55 minutos de clase podríamos visualizar unos 6 ó 7 con lo que, trabajando por grupos, podría exponer la totalidad de la clase en una o dos sesiones máximo.
Para terminar, si hay algo que no ha quedado del todo claro o que os gustaría que desarrollara algo más, no dudéis en hacérmelo saber a través de los comentarios. Estaré encantado de leeros y de tratar de daros respuesta en la medida de mis posibilidades. Además, me va a hacer muchísima ilusión recibir mi primer comentario en el blog. Siempre me quedará el consuelo de que si Xavier llega leyendo hasta aquí (mientras cuenta el número de palabras) me deje algún comentario, aunque sea jocoso, para que también pueda aprender a moderarlos.
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